Introdução A aprendizagem da
linguagem algébrica costuma ser bastante difícil e traumática para os
alunos das séries iniciais do ensino fundamental II, acostumados, até
então, apenas com a aritmética. Este momento inicial de contato com a
álgebra é uma ruptura com a matemática "concreta" da aritmética, para
uma entrada na matemática "abstrata" da álgebra. Os alunos muitas vezes
ainda não estão preparados para essa nova linguagem e, os professores,
por vezes, não se dão conta do delicado momento de transição e do
amadurecimento que compreender a álgebra exige.
A linguagem
matemática e a linguagem algébrica, em especial, apresentada aos alunos
muitas vezes de forma descontextualizada, pronta, cheia de incógnitas a
serem decifradas, carece de sentido, e os alunos se ressentem dessa
aparente falta de significado.
Objetivos
Ao
final destas aulas espera-se que os alunos sejam capazes de atribuir
significado e expressar algebricamente relações entre variáveis.
Conteúdos - números naturais e racionais
- operações
- linguagem algébrica
Ano
6º ou 7º anos
Tempo estimado
6 ou 7 aulas
Material necessário
Cópias dos problemas a todos os alunos.
Desenvolvimento das atividades
1ª aula
Propor aos alunos um jogo (em duplas), no qual devem descobrir a regra de formação de algumas seqüências numéricas.
O
primeiro jogador pensa em uma ou mais operações a serem feitas com os
números ditos pelo outro jogador, devolvendo-lhe os resultados para que
ele descubra as operações feitas. O segundo jogador deve dizer um número
de cada vez, analisando os resultados dados pelo colega, até descobrir
qual ou quais operações estão sendo feitas com os números ditos.
Quando
o segundo jogador descobrir as operações, ambos devem tentar escrever,
individualmente, cada um da sua maneira, utilizando-se de linguagem
materna ou linguagem matemática, qual ou quais operações devem ser
feitas com qualquer número, de forma geral, de modo a servir para
qualquer número dito, segundo a regra criada nessa rodada do jogo. Para
facilitar a observação das operações feitas, pode-se sugerir a
construção de uma tabela conforme a ilustrada abaixo, para o registro
dos números ditos por ambos:
Nesse
exemplo, Jorge triplica os números ditos por Ana e em seguida soma 1,
sendo que essas operações podem ser registradas como "três vezes o
número mais um" ou "3n + 1".
Depois de registrarem a regra dessa
rodada, os dois alunos da dupla devem confrontar seus registros e
conversar sobre qual deles é mais claro, mais econômico ou mais adequado
do ponto de vista matemático.
2ª aula
Os
alunos receberão várias tabelas como a acima já preenchidas (podem ser
usadas as tabelas criadas por diferentes duplas de alunos na atividade
anterior ou outras, dependendo da adequação ao seu grupo de alunos) e
deverão, inicialmente individualmente, registrar a regra (ou a seqüência
de operações) que está por trás de cada rodada do jogo.
Depois
de alguns minutos de trabalho individual, o professor deverá propor que
os alunos comparem seus registros com um colega, formando duplas, e
escolhendo o registro que consideram melhor para representar cada rodada
expressada numa tabela.
Em seguida, sugerir que sentem-se em
duplas de duplas e, novamente, escolham qual forma de registro
consideram mais sintética e matematicamente correta para expressar os
resultados de cada tabela.
Finalmente o professor abre a
discussão coletivamente, comparando os registros escolhidos como os
melhores pelos quartetos e problematizando sobre qual lhes parece mais
adequado matematicamente, retomando os saberes já institucionalizados no
grupo.
Para explorar a escrita algébrica convencional, é
preciso socializar as escrituras, refletir sobre elas e estabelecer
acordos e convenções. O professor deve recuperar algumas noções e
conceitos já trabalhados ou discutidos nos grupos, explicitando idéias e
sistematizando procedimentos e registros.
A socialização
permite que os alunos que descobrem algo "pessoal" revejam suas posições
iniciais. O confronto com os outros faz, também, com que algumas coisas
não possam ser validadas e sejam rechaçadas. As interações supõem uma
negociação e uma série de acordos, enriquecendo, assim, a reflexão
individual.
Quando um aluno produz algo pessoal ou não entende
uma escritura, é necessária a intervenção do professor, pois
dificilmente os alunos conseguem chegar a um acordo sozinhos. Alguns
acordos devem ser estabelecidos pelo professor, e também é preciso
validar certas escrituras e seu poder de comunicação.
Algumas
interações com o SND só podem acontecer dentro da escola, assim como com
a escrita algébrica. A linguagem algébrica, por ter uma estrutura
convencional, deve ser ensinada, uma vez que não é "natural" - as
escritas algébricas levaram muito tempo para se desenvolver e foram
sofrendo diversas modificações e aprimoramentos ao longo do tempo.
Seguem alguns exemplos de tabelas a serem adaptadas de acordo com os conhecimentos de seus alunos:
- Descubra a regra de transformação dos números em cada caso, escreva como ela "funciona" e complete as tabelas a seguir:
| Número dito por Ana |
12
|
10
|
1
|
0,5
|
-2
|
30
|
4,2
|
n
|
| Número dito por Jorge |
18
|
15
|
1,5
|
0,75
| | | | |
| Número dito por Ana |
100
|
36
|
18
|
5
|
10
|
0
|
9,8
|
n
|
| Número dito por Jorge |
10
|
3,6
|
1,8
|
0,5
| | | | |
| Número dito por Ana |
13
|
28
|
200
|
15
|
0
|
1
|
1,5
|
n
|
| Número dito por Jorge |
6,5
|
14
|
100
| | | | | |
| Número dito por Ana |
-15
|
-3
|
0
|
22
|
0,1
|
-5
|
3/4
|
n
|
| Número dito por Jorge |
-30
|
-6
|
0
| | | | | |
3ª aula
Propor
uma ou mais seqüências de figuras como a abaixo, acompanhada de
perguntas voltadas para a generalização das relações entre as
variáveis.
- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?
- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?
- Quantos quadradinhos brancos terá a décima figura dessa seqüência?
E depois, para generalização:
- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos escuros de qualquer figura dessa seqüência?
- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos brancos de qualquer figura dessa seqüência?
-
Uma variação é pedir que imaginem que os cubinhos com pelo menos uma
face exposta que compõem cubos maiores, formados com qualquer número de
cubinhos, foram pintados. Algumas das perguntas que podem ser feitas
são:
a) Quantos cubinhos pintados terá o cubo formado por 8 cubinhos? E por 27?
b) Quantos cubinhos sem pintar terá a próxima figura desta seqüência?
E depois, para generalização:
c) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos pintados de qualquer figura dessa seqüência?
d) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos sem pintar de qualquer figura dessa seqüência?
Possivelmente
nem todos os alunos conseguirão dar respostas imediatas, talvez por
poucas oportunidades de, percebendo as regularidades, fazer
generalizações. Este é, no entanto, um dos mais importantes aspectos
para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
4ª aula
Propor
problemas de distintas naturezas, sempre adequando aos seus objetivos
de ensino e aprendizagem, numa aula que envolva momentos de reflexão
individual, em duplas e grupos maiores, momentos de ação (a resolução de
problemas), de formulação (a reflexão com a dupla e com grupos
maiores), de validação (a proposição de afirmações perante o grupo ou
grupo oponente), e de sistematização (a institucionalização dos saberes
do grupo).
Tomando como ponto de partida as soluções dos alunos,
destacar que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema e
que uma ferramenta importante são as equações. Propor atividades que
envolvam a resolução de equações, preferencialmente associadas à
situações-problema.
Antes da institucionalização, as interações
entre os alunos devem levar um tempo, para que eles possam explorar as
diferentes idéias, analisar, testar etc. Deve-se ter um momento para que
todos possam se apropriar do que os outros disseram, para que
experimentem outros procedimentos e vejam quais são válidos ou não etc.
Por exemplo:
- Descubra a quantidade de diagonais que tem um polígono, em relação ao número de lados que apresenta.
Quantidade de lados de um polígono (n)
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
n
|
Quantidade de diagonais do polígono (x)
| | | | | | |
- Com 100 rodas posso fazer quantas bicicletas e triciclos?
- Tenho 100 reais para comprar feijão e farinha. O quilo de feijão custa 3 e a farinha 2 reais. Quanto de cada posso comprar?
Mudar
o contexto de um problema, como nos exemplos acima, de unidades
discretas para contínuas, muitas vezes oferece um grau de desafio maior
para os alunos. O contexto do problema imbui de sentido a notação
algébrica.
Uma fórmula como "3x + 2y = 100" já dá informação
sobre as duas variáveis em ambos os problemas acima, mas os alunos,
imediatamente, não chegam a essa fórmula. Alguns alunos, por exemplo,
necessitam escrever duas fórmulas, uma para cada variável.
Ao
tentar resolver um problema, os alunos tentam distintas coisas e podemos
validar certos conhecimentos matemáticos e, também, apontar se algo
está bem ou mal. Frente a um problema, alguns alunos podem subtrair ou
agregar dados que não estão colocados, outros tentam por estimativas,
outros tentam algo mais sistemático etc. Nem todos os alunos vêem as
variáveis que estão colocadas nos problemas.
Escrever uma
fórmula é uma maneira de sintetizar, numa só solução, várias
possibilidades de resolução; a fórmula sintetiza as relações variáveis
de toda uma categoria de problemas. Nesse sentido, a escrita da fórmula
supõe um aprofundamento das relações dos problemas. É bom lembrar,
porém, que as fórmulas não dão conta de resolver todos os problemas.
Pode
ser, também, que uma fórmula seja compreensível para um grupo de
alunos, mas talvez não seja acessível a todos os alunos; e talvez não
seja interessante, ainda, torná-la pública para todos. Na classe também
devem haver espaços privados, nos quais se respeitem os espaços de cada
aluno para, depois, num momento adequado, tornar algo público.
5ª aula
Propor situações que envolvam equilíbrio, por exemplo, com atividades com balanças de dois pratos como às atividades a seguir:
-
As figuras abaixo mostram balanças em equilíbrio, o que significa que
os pesos colocados nos pratos esquerdo e direito se equivalem. Responda
as perguntas a seguir considerando que pesos indicados pela mesma letra
são pesos iguais.
Agora responda:
o valor do "peso D "?
o valor do "peso C "?
c) o valor do "peso B "?
o valor do "peso A "?
o valor do "peso X "?
- As balanças ilustradas abaixo representam situações de equilíbrio. Descubra os números que tornam essa igualdade verdadeira.
a. Se tirarmos 15 do prato da direita, ela mantém o equilíbrio? Desenhe uma balança nessa situação e justifique sua resposta.
b.
O que você precisaria fazer no prato da esquerda para que a balança
voltasse a ficar em equilíbrio? Desenhe a balança nessa nova situação.
c. Qual o valor de X?
d. Que operações você fez para chegar ao resultado?
Essas
atividades fazem uma analogia entre o funcionamento da balança de dois
pratos e os processos de resolução de equações. Muitos alunos verbalizam
que "o que se tira (ou põe) num prato, tem que fazer igual no outro".
Avaliação
Propor
uma atividade individual de tradução em linguagem algébrica e resolução
de alguns problemas comuns em livros didáticos, adequados à realidade
da sua classe.
- Traduzir em linguagem algébrica e resolver os problemas a seguir.
a. A soma de dois números é 16 e um é o triplo do outro. Determine-os.https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1627253532252370716#editor/target=post;postID=3243298711130454720;onPublishedMenu=overview;onClosedMenu=overview;postNum=0;src=link
b. O dobro de um número multiplicado por 3 é igual a 36. Qual é esse número?
c. Júlia e João colecionam adesivos. Júlia tem 138 adesivos a menos que João. Quantos adesivos tem João, se Júlia tem 289?
d. A soma das idades de 4 irmãos é 84 anos. Qual a idade de cada um, sabendo que a cada dois anos nascia um irmão?
e. Um número natural excede em 12 a um múltiplo de 5. Qual é o resto de sua divisão por 3?
Observar
se os alunos tentam resolver os problemas aritmeticamente ou
algebricamente e o quanto aproveitam os saberes adquiridos durante as
propostas anteriores.
FONTE: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/introducao-algebra-429106.shtml
